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27/06/14

Razonamiento lógico matemático

Planteamiento

Telsita, Thalesa, Hipotenusia, Aritmética y Restarin tienen un montón de 100 tarjetas enumeradas del 1 al 100. Como son muy hábiles con los números, se dedican a incluir o quitar del montón aquellas tarjetas según le gusten o no.

Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los números pares, los descarta y pasa las tarjetas a Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta de que le faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado, y luego le entrega las tarjetas a Hipotenusia.

Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y coger las tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética.

Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las considera de mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin.

A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de estos números.

Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan.

¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder?

¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

Pasos de Polya

·         Comprensión del problema. Después de varias etapas donde se descartan y aumentan tarjetas, es necesario definir cuantas tarjetas quedan y cual es la tarjeta con el número mayor.

·         Elaboración del plan. Se estructura el problema, se definen elementos y se hace la planeación de resolución.

Se establecerán conjuntos de números de tarjetas y se aplicarán a manera de ecuaciones.

·         Aplicación del plan. Se aplica el plan pensado tratando de llegar a la solución correcta.

·         Revisión y verificación. Se revisan resultados y se verifica si son los adecuados que cumplen con lo pedido en el problema.

Comprensión del problema. Para llegar al objetivo, que es: saber cuantas tarjetas quedan y, descubrir cual es el número mayor escrito en las tarjetas, se procede a hacer un listado de los elementos que intervienen en el problema, mismo que, al clasificarlo, nos dará una perspectiva más amplia y con mayor comprensión del problema global.

Personaje	Nombre del conjunto	Características del conjunto	Elementos del conjunto
Telsita	A	Cartas del 1 al 100	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
	B	Números pares	2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28. 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100.
	C	Números nones	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.
Thalesa	D	Múltiplos de cinco	5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.
	E	Múltiplos de 5 contenidos en B	10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.
Hipotenusia
Aritmética	F	Múltiplos de 6 y de 8	6, 8, 12, 16, 18, 24, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96.
Restarin	G	Números primos mayores a 7 y menores de 100 (que pueden ser divisores)	11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
	H	Números que tienen como divisores números del conjunto G	22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94.

Elaboración del plan.

Con los conjuntos que intervienen en el problema, ya estructurados y definidos, se plantea el proceso que se usará para resolverlo.

En éste caso se tratará de hacer en forma de ecuación matemática.

Aplicación del plan.

Se plantean las ecuaciones pensadas, según el orden de las premisas establecidas.

·         A-B=C (Telsita descarta los números pares del conjunto original)

·         C+E= X1 (Thalesa revisa los descartados y rescata los múltiplos de 5)

·         A-X1=X2 (Hipotenusia reactiva las tarjetas descartadas y las pone nuevamente en circulación, desechando el bloque anterior)

·         X2-F=X3 (Aritmética quita los múltiplos de 6 y de 8)

·         X3-H=X4 (Restarín elimina las tarjetas que tienen como divisor los números primos mayores de 7)

·         De X4 se hace el conteo final de elementos y se encuentra el número más alto.

A-B=C

C=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99.

C+E=X1

X1= 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 39, 40, 41, 43, 45, 47, 49, 50, 51, 53, 55, 57, 59, 60, 61, 63, 65, 67, 69, 70, 71, 73, 75, 77, 79, 80, 81, 83, 85, 87, 89, 90, 91, 93, 95, 97, 99, 100.

A-X1=X2

X2= 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 32, 34, 36, 38, 42, 44, 46, 48, 52, 54, 56, 58, 62, 64, 66, 68, 72, 74, 76, 78, 82, 84, 86, 88, 92, 94, 96, 98.

X2-F=X3

X3= 2, 4, 14, 22, 26, 28, 34, 38, 44, 46, 52, 58, 62, 68, 74, 76, 82, 86, 92, 94, 98.

X3-H=X4

X4=2, 4, 14, 28, 44, 52, 68, 76, 92, 98.

X4 es el resultado final que nos dará respuesta a las preguntas del planteamiento:

¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder?

A Restarín le quedan 10 tarjetas

¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?

El número más alto es el 98

Verificación del plan

Se hace la verificación revisando, uno por uno, cada elemento de cada conjunto, que interviene en el problema y se llega a la conclusión de que las respuestas son correctas.